線形代数とは?

線形代数

 

概要

線形代数の問題とか基礎的なことはわかって、
次は細かいところのわからない(わかった気になっているところ)を潰していきたいなと思います。

 

写像とは

よく数学の教科書などには、写像という言葉がよく出てきます。
最初はなんやそれと思っていましたが、関数とほぼ同じであると理解すると納得できました。
厳密な違いはあるでしょうが、ほぼ同じと思い、数学に関する書籍は読み進めています。

じゃあ関数はなんやねんという話になります。
私の中で関数は下記の定義です。
インプットがあって、関数を通しことでなんらかのアウトプットになる
入力があって出力があるものを関数と呼びます。

また関数の条件は、下記2つです。
①式があること
②入力値があること

 

線形とは

「線形」と言われたときに、私は??ってなってました。
つまりなんとなくわかった気になってましたが、いざとなったときに数学的な説明ができませんでした。

数学的に表現すると下記の2つの条件があります。
$$① f(x + y) = f(x) + f(y) $$
$$② f(cx) = cf(x) $$

よく線形代数の教科書に出てくると思います。
じゃあこれは何を表しているのでしょうか。

まず左側、右側が何を表しているのでしょうか。
左側 → インプット
右側 → アウトプット

①は、入力時の足し算、出力時の足し算は同じになることを意味します。
②は、入力時、出力時の掛け算(この場合スカラー倍)はおなじになることを意味します。

つまり、下記のような集合があり、
fが関数、
Xがインプット、
Yがアウトプットのとき、
$$ f: X → Y $$

XとYは足し算、掛け算(スカラー倍)ができる集合を指します。
そしてこの集合のことを線形空間と呼びます。
なんかスッキリした気がする。